Bundan sonra matematiğin, aritmetik, geometri, ... gibi çeşitli kısımlarının aksiyomatik bir temele oturtulma girişimleri başladı. D. Hilbert’in (1862-1943) rüyası, matematiğin bütününü, hiç olmazsa, aritmetik, geometri gibi her bölümünü öyle aksiyomatik bir temele oturtmaktı ki, o bölümün her önermesi, o bölümün aksiyomlarından hareketle, olumlu ya da olumsuz bir yönde, karara bağlanabilsin idi. 20. asır matematiğinin en önemli teoremi; derinlik ve önem açısından, Einstein’nın görecelik ve Heisenberg’in belirsizlik ilkeleriyle aynı düzeyde olduğu kabul edilen, K. Gödel (1906-1978) in “eksiklik” (Gödel’s Incompleteness Theorem; burada yorumlandığı manada, “kararsızlık” teoremi demek daha doğru olur kanısındayım) teoremi Hilbert’in bu rüyasının bir rüya olarak kalmaya mahkum olduğunu gösterdi. Bu teoremi somut bir örnek üzerinde izah edemeye çalışacağım. Matematiğin bütününü dünya ülkeleri; aritmetik gibi bir kısmını da Türkiye gibi bir ülke olarak düşünelim. Gayemiz Türkiye’ ye bir anayasa yapmaktır. Bu anayasanın şu üç temel ilkeye uygun olmasını beklemekteyiz. Bunlar a) Tutarlılık İlkesi: Anayasanın bir maddesi geri kalanlarıyla çelişmemeli. b) Bağımsızlık İlkesi: Anayasanın her maddesi geri kalan maddelerden bağımsız olmalı, onların sonucu olarak elde edilememeli. c) Tamlık İlkesi: Anayasa, meclisten geçen her yasanın, anayasanın hükmü altına girecek kadar kapsamlı, tam olmalı; dolaysıyla anayasa mahkemesine götürülen her hangi bir yasa hakkında anayasa mahkemesi “görevsizlik kararı” verememeli. Bu ilkelerin dışında, meclisin çıkaracağı yasa sayısında da her hangi bir sınırlama olmadığını kabul ediyoruz. Bu ilkeler biz ölümlülerce makul ve her anayasın sağlaması gereken ilkeler olarak görülebilir. Gödel hiç de böyle düşünmüyor;  Gödel’e göre, bu ilkeleri sağlayan bir anayasa yapmak mümkün değildir. Yapacağımız anayasalar ya tutarsız; ya da tam olmayacaklardır.  Başka bir ifadeyle, ilk iki ilkeye uyan hangi anayasayı kabul edersek edelim, meclise öyle bir yasa önerisi verebilirim ki, bu öneri yasalaştığı ve muhalefet  de onu anayasa mahkemesine götürdüğü zaman, anayasa mahkemesi bu yasanın anayasaya uygun olduğunu da söyleyemez, uygun olmadığını da söyleyemez. Bu da yaptığımız anayasanın tam olmadığını manasına gelmektedir. Burada anayasa mahkemesinin  “ülke çıkarı”  ya da  başka siyasi mülahazaları göz önüne almadan, önüne getirilen yasa maddesini salt mantık açısından yargıladığını kabul ediyoruz. Matematiğe dönecek olursak, Gödel’in teoremi, matematiğin aritmetik gibi bir bölümünü nasıl bir aksiyom sistemi üzerine oturtursak oturtalım, aksiyom sistemimizin tutarlı olması koşuluyla, tamlık ilkesini sağlayacak şekilde  o bölümü aksiyomatikleştirmemiz mümkün değildir, diyor. Başka bir ifade ile, aksiyomlarımızın dışına çıkmadan, aksiyomlarımız tutarlı iseler, doğruluğunu da, yanlışlığını da ispatlayamayacağımız bir önerme üretmek her zaman mümkündür. Buradaki temel sorun  “doğru” ile “ispatlanabilir” kavramlarının eşdeğer kavramlar olmamasıdır. Klasik mantığın temel ilkelerinden biri şöyle der: Bir önerme ya doğrudur ya da yanlış; aynı zamanda doğru ve yanlış, ya da başka bir şey olamaz. Gödel’den önce, verilen her önermenin, bu gün beceremesek bile, eninde-sonunda doğruluğunun ya da yanlışlığının ispatlanacağı yönünde derin bir inanç vardı. Gödel’in teoremi bu inancı yıktı. Gödel’in bu teoremi çeşitli şekillerde yorumlandı. Bu yorumlardan biri: Hiç bir makine hiç bir zaman insan aklının yerini alamayacaktır; insan her zaman beklenmedik ve öngörülmedik bir düşünce, bir soru üretebilir; makine ise (uyması gereken “aksiyomlar” gereği) sadece beklenen ve öngörüleni üretir.

    20. asırda da, 19. asırda olduğu gibi, çok sayıda yeni teoriler ortaya çıktı. Bunlardan bir kaçı: Metrik uzaylar (1902), topoljik uzaylar (1914), fonksiyonel analiz (1924), Banach cebirleri (1940), distribüsyon teorisi (1950), operatörler teorisi (1930), Felaket (Catastrophe) teorisi (1950)....Bunların detayına girmem mümkün değil.  Bu asrın matematiğinin temel özellikleri: Hiçbir asırda olmadığı kadar soyut olması; kavramsal ve yapısal olmasıdır. Matematikte çalışan insan sayısı ve yapılan üretim hiçbir asırda 20. asırdaki kadar yüksek olmamıştır. Üretimin çokluğu, çeşitliliği, kullanılan dilin konuya öze oluşu, matematiğin bütünü hakkında bir bilgi sahip olmayı imkansız kılmaktadır.

 Başlarken söylediğim bir sözle, bugünkü matematik hakkında bilgimiz, körün dokunduğu fil hakkındaki bilgisinden daha fazla değildir. Benim ki hiç değildir.