5-Kümeler
teorisinin, dolaysıyla, modern matematiğin, babası Georg Cantor (1845-1918)
dır. G. Cantor Berlin üniversitesinde, Kummer’in ögrencisi olarak sayılar
teorisinde tezini bitirdikten sonra, 1869 dan itibaren meslek hayatının
sonuna kadar çalışacağı Halle üniversitesinde işe başlamıştır. Halle
üniversitesinde çalışmaya başladığı yıllarda, o üniversitenin hocalarından,
E. Heine’nın Cantor’a sorduğu bir soru Cantor’un yaşamını, matematiğin de
seyrini değiştirecekti. Bu soru şu idi: Bir periodluk bir aralıkta, toplamı
sıfır olan bir trigonometrik serinin katsayılarının hepsi sıfır mıdır?
Cantor bu soruyla uğraşırken gerçel sayıların o güne kadar fark edilmeyen
bir özelliğinin farkına varır. Bu da rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların
aynı çoklukta olmadığıdır. Başka bir ifadeyle, rasyonel sayıların kümesiyle
irrasyonel sayıların kümesi arasında, her iki kümenin de sonsuz olmasına
karşın, bire-bir bir dönüşüm yoktur. O halde bu iki kümenin sonsuzlukları
aynı değildir. Böylelikle ortaya küme kavramı ve kümelerin, içerdikleri
eleman çokluğu açısından, sınıflandırılması sorunu çıktı. Bu son kavram
“sonsuzun” tek değil, çok olduğunu söylemektedir; bu da çok tepki çekecekti.
Tarih boyunca, Elea’ lı Zeno’dan başlayarak, günümüze kadar, “sonsuz”
insanları rahatsız etmiştir. Aristo’dan Cantor’a kadar geçen zaman diliminde
“sonsuz” anlayışı, temelde Aristo’nun görüşü olan, şu anlayıştır: Sonsuz,
ufuk çizgisi gibi, var olmayan ama konuşma kolaylığı sağladığı için
kullandığımız bir kavramdır. Bu kavramı “sınırsızlık” kavramı yerine
kullanırız; bir şey, çoğalarak ya da büyüyerek, önceden belirleyeceğimiz bir
çokluğun ya da büyüklüğün ötesine geçme potansiyeline sahipse, o şeye
sonsuza gidiyor deriz. Başka bir deyimle, Aristo’nun sonsuz anlayışı
“potansiyel sonsuz” anlayışıdır. Cantor’a göre ise “sonsuz” tek başına
manalı bir söz değildir; manalı olan “sonsuz küme” kavramıdır; sonsuz
kümeler ise var olan nesnelerdir. Burada “sonsuz küme” deyimi, büyükanne
gibi, bölünmez bir terim olarak anlaşılmalıdır. O halde önce kümeler
sonlu-sonsuz diye ikiye ayrılacak; sonra da sonsuz kümeler, kendi
aralarında, sonsuzluklarına göre, çeşitli sınıflara ayrılacaktır. Böylelikle
ortaya sayısız “sonsuz küme” sınıfları çıkacaktır. Bu da çok çeşitli
“sonsuzluğun “ olduğu manasına gelmektedir. Cantor’un bu sonsuz anlayışı,
Kronecker ve Poincaré gibi bir çok ünlü matematikçi tarafından tepki ile
karşılandı. Bunun sonucu olarak ta, matematikçiler, “sonsuzu” Cantor gibi
anlayanlar ve Aristo gibi anlayanlar olmak üzere, iki guruba ayrıldılar.
Küme kavramının, aksiyomatik olarak tanımlanmaksızın, Cantor’un yaptığı
gibi, sözlük manasında kullanılması, kümeler teorisini de çıkmaza soktu;
“bütün kümelerin kümesi bir küme midir” gibi yeni paradoksları ortaya
çıkardı. Bu da matematikçileri, kümeler teorisinden
vazgeçilip-vazgeçilmemesi konusunda, ikinci bir kez böldü. Üçüncü bir sorun
da, bir matematiksel ispatın ne olduğu, geçerliliği, meşruluğu sorunuydu.
Matematikte deney ya da gözlem olmadığı için, tartışma konusu olan bir
ispat, teori veya teorem hakkında son sözü deneye, ya da gözleme bırakma
olanağı yoktur. Bir matematikçi “ öyle bir x vardır ki...” dediği zaman var
olduğunu iddia ettiği şeyi somut olarak ortaya koymak, en azından nasıl inşa
edilebileceğini göstermek zorunda mıdır; yoksa, bir din adamının dini
ilkelere dayanarak şeytanın varlığını ispatladığı gibi, bir matematikçinin
de, aradığı şeyin nasıl elde edileceğini göstermeksizin, o şeyin var
olduğunu, bir takım ilkelere dayanarak, ispatlaması yeterli midir? Bu üç
sorunla ilgili farklı görüş ve anlayışlar matematikçileri derin
tartışmalara, çeşitli ekollere bölünmelere; matematiği de bir krize itti. Bu
“ Matematiğin Temelleri Krizi” denen krizdir. Matematiğin artık eskisi gibi
kendi gelenek-göreneklerine göre yapılamayacağını anlayan matematikçiler, bu
krizden çıkmak için matematiğin bir “anayasal” temele oturtulması
gerektiğini anlayarak, küme kavramını aksiyomatik olarak tanımlayıp,
matematiği aksiyomatik kümeler temeli üzerine inşaa etmeye çalıştılar;
gerektiğinde kümeler teorisinin aksiyomlarına “seçim aksiyomu” gibi
aksiyomlar da ilave edilecektir. Böylelikle “modern matematik” doğdu. Kısa
bir tanım vermek gerekirse, “modern matematik” klasik matematiğin anayasal
bir tabana oturtulmuş şeklidir, diye tanımlayabiliriz. Artık bu yasal
çerçevede neyin meşru, neyin meşru olmadığı tartışılabilecektir.
| Meşhur Matematikçiler F.Benson Stokoner |
